В 1990—1993 годах обучался в Уральском государственном университете на философском факультете по специальности «История философии»[5]. Не завершив учёбу, уехал в Москву.

В Москве поступил на факультет экономики и права Российского университета дружбы народов (РУДН). Одновременно с учёбой в университете в период с 1995 года по 1997 год Клишас занимал различные должности в Российском фонде федерального имущества. В 1998 году окончил РУДН со степенью бакалавра юриспруденции[6]. Его однокурсником в РУДН был Алексей Навальный[7]. В 2000 году Клишас с отличием окончил магистратуру РУДН[6].

С августа 1997 года по июнь 1998 года был заместителем начальника юридического управления ОНЭКСИМ-банка.

Интеррос
С 1998 года по 2010 год — директор по юридическим вопросам, заместитель гендиректора, генеральный директор, председатель правления, вице-президент, председатель совета директоров ЗАО «Холдинговая компания „Интеррос“».

РУДН
С 2001 по 2012 год работал преподавателем, старшим преподавателем, доцентом, профессором кафедры конституционного и муниципального права юридического факультета РУДН. В феврале 2012 года стал заведующим кафедрой конституционного и муниципального права (впоследствии преобразована в кафедру конституционного права и конституционного судопроизводства).

Летом 2014 года юридический факультет был преобразован в Юридический институт РУДН, а его директором назначен Олег Ястребов. В ноябре 2014 года заведующий кафедрой конституционного и муниципального права РУДН Клишас был назначен научным руководителем института. В июле 2016 года из кафедры теории и истории государства и права была выделена кафедра теории права и государства, и её заведующим назначен Клишас[8].

В 2002 году в Московском университете МВД России Клишас защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата юридических наук по теме «Процедура ампаро как форма конституционного контроля в Мексике»[9]. В 2008 году в Московском университете МВД России защитил диссертацию на соискание учёной степени доктора юридических наук по теме «Конституционный контроль и конституционное правосудие в зарубежных странах»[10].

Норильский никель
С 2001 года по 2008 год — председатель совета директоров ОАО "Горно-металлургическая компания «Норильский никель». С 2008 года — член совета директоров.

В августа 2010 года Андрей Клишас был назначен президентом компании «Норильский никель». До этого он занимал должность президента и главы совета директоров «Интерроса» Владимира Потанина, одного из основных акционеров «Норникеля». Назначение состоялось в период корпоративного конфликта «Интерроса» с другим крупным совладельцем ГМК — «Русалом» Олега Дерипаски. Акционеры «Норникеля», чьи доли в компании на тот момент были равны (по 25 %), воевали за сферы влияния в ней.

Выборы в Государственную думу
Осенью 2011 года Клишас был выдвинут на выборах в Государственную думу 6 созыва в составе списка «Единой России». Был шестым в группе кандидатов Красноярского края. Такое место в списке считалось проходным. По итогам состоявшихся 4 декабря 2011 года выборов «Единая Россия» получила в крае лишь 36,7 % голосов, что позволило получить мандаты лишь трём кандидатам (П. И. Пимашков, А. Ю. Воробьёв, Р. В. Кармазина), а Клишас избран депутатом не был[11].

Выборы в Норильский городской совет
В январе 2012 года Андрей Клишас был включён в список норильского отделения «Единой России» на выборах депутатов Норильского городского Совета, которые проходили по смешанной системе.[12] В списке из 27 кандидатов он был вторым после Сергея Шмакова, главы города Норильска. На состоявшихся 4 марта 2012 года выборах, проходивших одновременно с выборами президента РФ, список «Единой России» получил 62,77 % голосов.[13] По итогам распределения мандатов один был передан Клишасу и он вошёл в состав Норильского городского Совета депутатов депутатом на непостоянной основе. Это позволило ему претендовать на кресло в Совете Федерации.

Совет Федерации
19 марта 2012 губернатор Красноярского края Лев Кузнецов назначил Андрея Клишаса представителем правительства Красноярского края в Совете Федерации[14]. На этой должности он сменил Веру Оськину. В связи с этим назначением Клишас покинул должность президента ОАО "ГМК «Норильский никель»[15]. 30 мая 2012 года возглавил комитет Совета Федерации по конституционному законодательству, правовым и судебным вопросам, развитию гражданского общества.

В апреле 2017 года Президиум генерального совета «Единая Россия» утвердил Клишаса председателем либеральной платформы партии[16][17].

В 2020 году входил в состав рабочей группы по подготовке предложений о внесении поправок в Конституцию России[18].

период с 1995 года по 1997 год Клишас занимал различные должности в Российском фонде федерального имущества.